ESTADOS DE ENERGIAS QUÂNTICO DE GRACELI.

se tem sensibilidades térmicas diferentes conforme os tipos de materiais e tipos de energias que são empregadas, provando assim que os estados de energias e quântico variam conforme são empregadas tipos diferenciados de energias.

ou seja, com amesma temperatura se tem sensibilidades variadas conforme esta temperaura foi produzida sobre um esmo material.

e o mesmo acorre sobre materiais diferenciados.

ou seja, estados de energias variados em mesmos materiais, e também em materiais diferenciados.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA , ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ DINÂMICAS, ⇔  Δ VALÊNCIAS, ⇔  Δ BANDAS,  Δ entropia e de entalpia,  E OUTROS.

x

$\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)$ [EQUAÇÃO DE DIRAC].

$\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})$ + FUNÇÃO TÉRMICA.

$N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}$ + FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

$T=e^{-2bL}$ , $b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}$

$\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}$ + ENTROPIA REVERSÍVEL

+   $\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}$ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

$E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx$ ENERGIA DE PLANCK

X

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..

DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia

[comprimento de onda (λ).

$\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

onde c, velocidade da luz, é igual a $f\lambda$ .]

X

TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.

X

CATEGORIAS DE GRACELI

T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

X

$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ [ESTADO QUÂNTICO]

X

PARA TODA FORMA DE FUNÇÃO EQUAÇÃO EM:

A termodinâmica quântica é o estudo das relações entre duas teorias físicas independentes: termodinâmica e mecânica quântica.^[1]^[2] As duas teorias independentes tratam dos fenômenos físicos da luz e da matéria. Em 1905, Einstein argumentou que a exigência de consistência entre termodinâmica e eletromagnetismo^[3] nos leva à conclusão de que a luz é quantizada obtendo a relação $E=h\nu$ . Este artigo é o início da teoria quântica. Em algumas décadas, a teoria quântica se estabeleceu com um conjunto independente de regras.^[4] Atualmente, a termodinâmica quântica trata do surgimento de leis termodinâmicas da mecânica quântica. Ela difere da mecânica estatística quântica na ênfase em processos dinâmicos fora de equilíbrio.^[5] Além disso, há uma busca pela teoria para ser relevante para um único sistema quântico individual.^[6]

Visualização dinâmica[editar | editar código-fonte]

Existe uma conexão íntima da termodinâmica quântica com a teoria dos sistemas quânticos abertos.^[7] A mecânica quântica insere dinâmica na termodinâmica, dando uma base sólida à termodinâmica para tempo finito. A principal premissa é que o mundo inteiro é um grande sistema fechado e, portanto, a evolução do tempo é governada por uma transformação unitária gerada por um hamiltoniano global. Para o cenário combinado do banho do sistema, o Hamiltoniano global pode ser decomposto em:

$H=H_{S}+H_{B}+H_{SB}$
$x$

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onde $H_{S}$ é o sistema hamiltoniano, $H_{B}$ é o banho hamiltoniano e $H_{SB}$ é a interação sistema-banho. O estado do sistema é obtido a partir de um rastreamento parcial sobre o sistema combinado e o banho: $\rho _{S}(t)=Tr_{B}(\rho _{SB}(t))$ . Dinâmica reduzida é uma descrição equivalente da dinâmica do sistema, utilizando apenas operadores do sistema. Assumindo a propriedade de Markov para a dinâmica, a equação básica de movimento para um sistema quântico aberto é a equação de Lindblad (GKLS):^[8]^[9]

${\dot {\rho }}_{S}=-{i \over \hbar }[H_{S},\rho _{S}]+L_{D}(\rho _{S})$
$x$

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$H_{S}$ é uma parte hamiltoniana (Hermitiana) e $L_{D}$ :

$L_{D}(\rho _{S})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{S}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{S}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{S}\right)\right)$
$x$

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é a parte dissipativa que descreve implicitamente através dos operadores do sistema $V_{n}$ a influência do banho no sistema. A propriedade de Markov impõe que o sistema e o banho não estejam correlacionados o tempo todo $\rho _{SB}=\rho _{s}\otimes \rho _{B}$ . A equação L-GKS é unidirecional e conduz qualquer estado inicial $\rho _{S}$ para uma solução em estado estacionário que é invariável da equação do movimento ${\dot {\rho }}_{S}(t\rightarrow \infty )=0$ .^[7]

A imagem de Heisenberg fornece uma ligação direta para observáveis termodinâmicos quânticos. A dinâmica de um sistema observável representado pelo operador, $O$ , tem a forma:

${\frac {dO}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[H_{S},O]+L_{D}^{*}(O)+{\frac {\partial O}{\partial t}}$
$x$

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onde a possibilidade de que o operador, $O$ é explicitamente dependente do tempo, está incluído.

Em teoria da probabilidades e estatística, o termo propriedade de Markov ou propriedade markoviana se refere à propriedade de perda de memória de um processo estocástico. Tem este nome devido ao matemático russo Andrei Markov.^[1]

Uma representação simples de movimento browniano tridimensional para tempos 0 ≤ t ≤ 2. O movimento brownian tem a propriedade de Markov, já que o deslocamento da partícula não depende de seus deslocamentos passados.

Um processo estocástico tem a propriedade de Markov se a distribuição de probabilidade condicional de estados futuros do processo (condicional tanto em estados passados, como presentes) depende apenas do estado presente, não da sequência de eventos que o precedeu. Um processo com esta propriedade é chamado de processo de Markov. O termo propriedade forte de Markov tem significado semelhante à propriedade de Markov propriamente dita, exceto pelo fato de que o significado de "presente" é definido em termo de uma variável aleatória conhecida como tempo de espera.

O termo pressuposto de Markov é usado para descrever um modelo em que se pressupõe que a propriedade de Markov se mantém, tal como o modelo oculto de Markov.

Um campo aleatório de Markov^[2] estende esta propriedade a duas ou mais dimensões ou a variáveis aleatórias definidas para uma rede interconectada de itens. Um exemplo de um modelo para um campo como este é o modelo Ising.

Um processo estocástico de tempo discreto que satisfaça a propriedade de Markov é conhecido como cadeia de Markov.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Um processo estocástico tem a propriedade de Markov se a distribuição de probabilidade condicional de estados futuros do processo (condicional tanto em valores passados, como presentes) depende apenas do estado presente; isto é, dado o presente, o futuro não depende do passado. Um processo com esta propriedade é chamado de Markoviano ou processo de Markov. O mais famoso processo de Markov é a cadeia de Markov. O movimento browniano é outro processo de Markov bem conhecido.

História[editar | editar código-fonte]

Andrei Markov estudou cadeias de Markov no começo do século XX. Markov estava interessado em estudar uma extensão de sequências aleatórias independentes, motivado por uma discordância com Pavel Nekrasov, que acreditava que a independência era necessária para que a lei fraca dos grandes números se aplicasse.^[3] Em seu primeiro artigo sobre cadeias de Markov, publicado em 1906, Markov mostrou que, sob certas condições, os valores esperados de uma cadeia de Markov convergiriam para um vetor fixo de valores, provando então uma lei fraca dos grandes números sem o pressuposto de independência,^[4]^[5]^[6] que tinha sido comumente considerado um requisito para que leis matemáticas como aquela se aplicassem.^[6] Markov usou posteriormente cadeias de Markov para estudar a distribuição de vogais em Eugene Onegin, livro de Alexandre Pushkin, e provou um teorema central do limite para tais cadeias.^[4]

Em 1912, Poincaré estudou cadeias de Markov em grupos finitos com o objetivo de estudar o embaralhamento de cartas. Outros usos iniciais de cadeias de Markov incluem um modelo de difusão, introduzido por Paul e Tatyana Ehrenfest em 1907, e um processo de ramificação, introduzido por Francis Galton e Henry William Watson em 1873, antes do trabalho de Markov.^[4]^[5] Depois do trabalho de Galton e Watson, foi revelado mais tarde que seu processo de ramificação havia sido independentemente descoberto e estudado cerca de três décadas antes por Iréne-Jules Bienaymé.^[7] Começando em 1928, Maurice Fréchet se interessou por cadeias de Markov, o que o levou a publicar em 1938 um estudo detalhado sobre cadeias de Markov.^[4]^[8]

Andrei Kolmogorov desenvolveu em um artigo de 1931 uma grande parte da teoria inicial de processos de Markov de tempo contínuo.^[9]^[10] Kolmogorov foi parcialmente inspirado pelo trabalho de Louis Bachelier em 1900 sobre flutuações no mercado de ações, assim como pelo trabalho de Norbert Wiener sobre o modelo do movimento browniano proposto por Albert Einstein.^[9]^[11] Ele introduziu e estudou um conjunto particular de processos de Markov conhecidos como processos de difusão, em que derivou um conjunto de equações diferenciais que descrevem o processo.^[9]^[12] Independente do trabalho de Kolmogorov, Sydney Chapman derivou em um artigo de 1928 uma equação, agora chamada de equação de Chapman-Kolmogorov, de uma forma menos matematicamente rigorosa comparado a Kolmogorov, enquanto estudava movimento browniano.^[13] As equações diferenciais são chamadas agora de equações de Kolmogorov^[14] ou equações de Chapman-Kolmogorov.^[15] Outros matemáticos que contribuíram significativamente para as fundações dos processo de Markov incluem William Feller, a partir da década de 1930, e depois Eugene Dynkin, a partir da década de 1950.^[10]

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ com filtração $({\mathcal {F}}_{s},\ s\in I)$ , para algum conjunto de índice (totalmente ordenado) $I$ ; e um espaço mensurável $(S,{\mathcal {S}})$ . Diz-se que um processo estocástico $X=(X_{t},\ t\in I)$ com valores $(S,{\mathcal {S}})$ adaptado à filtração possui a propriedade de Markov se, para cada $A\in {\mathcal {S}}$ e para cada $s,t\in I$ com $s<t$ ,

$\mathbb {P} (X_{t}\in A|{\mathcal {F}}_{s})=\mathbb {P} (X_{t}\in A|X_{s})$ ^[16]
x

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No caso em que $S$ for um conjunto discreto com sigma-álgebra discreta e $I=\mathbb {N}$ , isto pode ser reformulado como segue:

$\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\dots ,X_{0}=x_{0})=\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})$

Formulações alternativas[editar | editar código-fonte]

Alternativamente, a propriedade de Markov pode ser formulada da seguinte maneira.

$\mathbb {E} [f(X_{t})|{\mathcal {F}}_{s}]=\mathbb {E} [f(X_{t})|\sigma (X_{s})]$
$x$

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para todo $t\geq s\geq 0$ e sendo $f:S\rightarrow \mathbb {R}$ limitada e mensurável.^[17]

Propriedade forte de Markov[editar | editar código-fonte]

Suponha que $X=(X_{t}:t\geq 0)$ seja um processo estocástico em um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ com filtração natural $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ . Para qualquer $t\geq 0$ , podemos definir o sigma-álgebra germe ${\mathcal {F}}_{t+}$ como a intersecção de todos os ${\mathcal {F}}_{s}$ para $s>t$ . Então para qualquer tempo de espera $\tau$ em $\Omega$ , podemos definir

${\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}=\{A\in {\mathcal {F}}:\{\tau =t\}\cap A\in {\mathcal {F}}_{t+},\,\forall t\geq 0\}$ .
x

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Então diz-se que $X$ tem a propriedade forte de Markov se, para cada tempo de espera $\tau$ , condicionado no evento $\{\tau <\infty \}$ , e para cada $t\geq 0$ , $X_{\tau +t}$ for independente de ${\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}$ dado $X_{\tau }$ .

A propriedade forte de Markov indica a propriedade de Markov propriamente dita, já que ao tomar o tempo de espera $\tau =t$ , a propriedade de Markov propriamente dita pode ser deduzida.

Evolução transitória[editar | editar código-fonte]

A probabilidade de ir do estado i para o estado j em intervalos de tempo n é

$p_{ij}^{(n)}=\Pr(X_{n}=j\mid X_{0}=i)\,$

e a transição de um único passo é

$p_{ij}=\Pr(X_{1}=j\mid X_{0}=i).\,$

Para uma cadeia de Markov de tempo homogêneo:

$p_{ij}^{(n)}=\Pr(X_{k+n}=j\mid X_{k}=i)\,$

e

$p_{ij}=\Pr(X_{k+1}=j\mid X_{k}=i).\,$

As probabilidades de transição de n-etapa satisfazem a equação Chapman-Kolmogorov, que para qualquer k tal que 0 < k < n,

$p_{ij}^{(n)}=\sum _{r\in S}p_{ir}^{(k)}p_{rj}^{(n-k)}$
$x$

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onde S é o espaço de estados da cadeia de Markov.

A distribuição marginal Pr(X_n = x) é a distribuição mais estados no tempo n. A distribuição inicial é Pr(X₀ = x). A evolução do processo através de um passo de tempo é descrita pela

$\Pr(X_{n}=j)=\sum _{r\in S}p_{rj}\Pr(X_{n-1}=r)=\sum _{r\in S}p_{rj}^{(n)}\Pr(X_{0}=r).$
$x$

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Nota: O expoente (n) é um índice e não um expoente.

Em matemática, especificamente na teoria Markoviana de processos estocásticos, a equação de Chapman–Kolmogorov é uma identidade que relaciona as distribuições de probabilidade conjunta de diferentes conjuntos de coordenadas de um processo estocástico. A equação foi derivada independentemente pelos matemáticos Sydney Chapman e Andrey Kolmogorov.

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

Suponha que { f_i } é uma coleção indexada de variáveis aleatórias, isto é, um processo estocástico. Seja

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})$

a função de densidade da probabilidade conjunta dos valores da variável aleatória f₁ para f_n. Então, a equação de Chapman–Kolmogorov é

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}$
$x$

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ou seja, a distribuição marginal sobre a variável de perturbação.^[1]

(Note que não se assumiu ainda nada sobre o ordenamento temporal ou qualquer outro das variáveis aleatórias — a equação acima aplica-se à distribuição marginal de qualquer uma.)

Aplicação às cadeias de Markov[editar | editar código-fonte]

Quando o processo estocástico que se considera aqui é markoviano (Cadeias de Markov), a equação de Chapman–Kolmogorov é equivalente a uma identidade de densidades de transição. Na configuração de cadeia de Markov, assume-se que i₁ < ... < i_n. Então, por causa da propriedade de Markov,

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),$
$x$

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onde a probabilidade condicional $p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})$ é a probabilidade de transição entre os tempos $i>j$ . Assim, a equação de Chapman–Kolmogorov assume a forma

$p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.$
$x$

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Informalmente, isso diz que a probabilidade de ir do estado 1 ao estado 3 pode ser encontrado nas probabilidades de ir de 1 a um estado intermediário 2 e, daí, de 2 a 3, ao adicionar todos os estados intermediários 2 possíveis.

Quando a distribuição de probabilidade no estado espacial de uma cadeia de Markov é discreta e a cadeia de Markov é homogênea, a equação de Chapman–Kolmogorov pode ser expressa em termos de um produto de matrizes (possivelmente de dimensão infinita), então:

$P(t+s)=P(t)P(s)\,$
$x$

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onde P(t) é a matriz de transição do salto t, por exemplo, P(t) é a matriz tal que a entrada (i,j) contenha a probabilidade de a cadeia mover-se do estado i ao estado j nos passos t.

Como um corolário, isso sugere que para calcular a matriz de transição do salto t, basta acrescer a matriz de transição do salto um à potência t, isto é

$P(t)=P^{t}.\,$
$x$

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A forma diferencial da equação de Chapman–Kolmogorov é também conhecida como equação mestre.

A equação de Fokker–Planck, denominada assim por Adriaan Fokker^[1] e Max Planck,^[2] e também conhecida como equação avançada de Kolmogórov (por Andréi Kolmogórov, quem primeiro a introduziu em um artigo de 1931 ^[3]), descreve a evolução temporal da função de densidade de probabilidade que mostra a posição e a velocidade de uma partícula, ainda que possa ser generalizada a outro tipo de variáveis.^[4] A equação é aplicável a sistemas que possam ser descritos por um pequeno número de "macrovariáveis", onde outros parâmetros variam tão rapidamente com o tempo que podem ser tratados como "ruído" ou uma perturbação.

História[editar | editar código-fonte]

O primeiro uso da equação de Fokker-Planck foi a descrição estatística do movimento browniano de uma partícula no seio de um fluido. O movimento browniano segue a equação de Langevin, que pode ser resolvida para diferentes perturbações estocásticas, mediante resultados médio. Entretanto, como alternativa a este procedimento, pode-se usar a equação de Fokker-Planck e considerar uma densidade de probabilidade da posição e do tempo, ${\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)$ . Esta distribuição de probabilidade dependente do tempo pode ainda depender de um conjunto de N macrovariáveis $\ x_{i}$ , de tal maneira que o movimento browniano em questão pode ser representado por uma equação de Fokker-Planck da forma:

${\frac {\partial {\mathcal {P}}}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})\right]{\mathcal {P}}$
$x$

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onde:

$D^{1}$ é o termo de arraste, que é dado por um vetor.
$D^{2}$ é termo difusivo, que é dado por uma matriz.

Relação com as equações diferenciais estocásticas[editar | editar código-fonte]

A equação de Fokker–Planck pode ser usada para calcular a densidade de probabilidade associada a uma equação diferencial estocástica. Por exemplo, à equação diferencial de Itō:

$\mathrm {d} \mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} t+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} \mathbf {W} _{t},$

onde:

$\mathbf {X} _{t}\in \mathbb {R} ^{N}$ é o estado do sistema.
$\mathbf {W} _{t}\in \mathbb {R} ^{M}$ caracteriza um processo de Wiener padrão M-dimensional.

Se a distribuição inicial é dada por $\mathbf {X} _{0}\sim {\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,0)$ , então a densidade de probabilidade ${\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)$ do estado $\mathbf {X} _{t}$ é dada pela equação de Fokker–Planck com o termo de arraste e o termo de difusão dado por:

$D_{i}^{1}(\mathbf {x} ,t)=\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\qquad D_{ij}^{2}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{kj}^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} ,t).$
$x$

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$Um sistema de mecânica quântica é um sistema no qual o comportamento de suas partículas pode ser explicado através da matemática incorporando a quatro princípios: A quantização da energia; onde a troca de energia ocorre em pacotes de energia discreta e a transferência não é contínua, como descrito por Max Planck . A dualidade matéria-energia, que primeiro foi considerada por James Maxwell que a luz é uma onda eletromagnética e, descoberto por Einstein, a natureza da partícula da luz. Doravante, a luz é considerada como tendo natureza dual. O princípio da incerteza que estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física. Como Werner Heisenberg afirmou, em escalas microscópicas, a natureza em si não permite as medidas de posição e momento das partículas simultaneamente. Finalmente, o princípio da correspondência onde todas as grandezas do do mundo quântico (usualmente microscópico) tem sua correspondência no mundo clássico. Como colocado por Niels Bohr : A física clássica e física quântica dão as mesmas respostas quando o sistema se torna grande [1] .$

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

$\mathbf {r}$

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$ou qualquer formulação equivalente desta equação em um sistema de coordenadas diferente das coordenadas cartesianas. Por exemplo, sistemas com simetria esférica são simplificados quando expressos com coordenadas esféricas . Muitas vezes, apenas soluções numéricas para a equação de Schrödinger podem ser encontradas para um determinado sistema físico e sua energia potencial associada. Existe um subconjunto de sistemas físicos para os quais a forma das funções de autofunções e suas energias associadas podem ser encontradas. Esses sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas estão listados abaixo.$
$x$

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O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional[editar | editar código-fonte]

Hamiltoniano, energia e autofunções[editar | editar código-fonte]

Funções de onda para os primeiros seis autoestados, $v=0{\mbox{ a }}7$ . O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$ . Em mecânica clássica $\displaystyle k=m\omega ^{2}$ se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa $m$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$ .

O Hamiltoniano quântico da partícula é^[1]:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}$

onde ${\hat {x}}\,$ é o operador posição e ${\hat {p}}\,$ é o operador momento $\left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)$ . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$ .

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é^[2]

$\left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

$v=0,1,2,\ldots$

onde $v\,$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções ( $v=0{\mbox{ a }}5\,$ ) se mostram na figura da direita. As funções $H_{n}$ são os polinômios de Hermite:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação ${\hat {H}}$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

$E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots$ .

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras $1/2$ , $3/2$ , $5/2$ , ... de $\hbar \omega$ . Este resultado é característico dos sistemas mecânico-quânticos^[2].

A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar \omega /2$ , e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.

A última razão é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o Princípio da correspondência.

Aplicação: moléculas diatômicas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Molécula diatômica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por^[3]:

$\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}$

que se relaciona com a frequência angular mediante $\omega =2\pi \nu \,$ e depende da massa reduzida $\mu \,$ da molécula diatômica.

O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos.^[1] Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.^[2]^[3]^[4]

Equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular $\phi$ ) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em

$T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},$
$U=mgl(1-\cos \phi ).$

Isso resulta no Hamiltoniano

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).$

A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é

$i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi }{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .$

É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:

$\eta =\phi +\pi ,$
$\Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },$
$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .$

Esta é a equação de Mathieu.^[5]

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,$

onde as soluções são as funções Mathieu.^[6]^[7]^[8]

Na mecânica quântica, um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis). O espaço de Hilbert descrevendo tal sistema é bidimensional. Portanto, uma base completa que liga o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit.

Representação do sistema quântico de dois estados[editar | editar código-fonte]

O estado de um sistema quântico de dois estados pode ser descrito por um espaço bidimensional complexo de Hilbert. Isso significa que cada vetor de estado $\vert \psi \rangle$ é representado por duas coordenadas complexas:

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$ onde, $c_1$ and $c_2$ são as coordenadas.^[1]

Se os vetores são normalizados, $c_1$ e $c_2$ são relacionados por ${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ . Os vetores base são representados como $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ e $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ Todas as grandezas físicas observáveis associadas a este sistema são matrizes Hermitianas 2 $\times$ 2 . O Hamiltoniano do sistema é também uma matriz Hermitiana 2 $\times$ 2.

Referências

Uma estatística quantica, no contexto da mecânica quântica e no da mecânica estatística, é a descrição de como a energia de cada um dos entes unitários constituintes de um ensemble está distribuida, dada uma energia total E constante, sob a restrição de que:

a energia passa a ser quantizada;
as partículas objeto de estudo passam a ser indistinguíveis.

Isso é feito expressando-se as probabilidades relativas de uma partícula com energia

E_{n}

De modo clássico, a probabilidade é dada por:

P\left(E_{n}\right)={\frac {1}{Q}}\exp \left(-E_{n}/kT\right)

onde

Q=\sum _{j}\exp \left(-E_{j}/kT\right)

é a chamada função de partição

Nos casos quanticos, o que muda é a questão da quantização do espaço de fase, o que impõe um "volume" mínimo de célula possível nesse espaço.

sexta-feira, 7 de agosto de 2020

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

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é uma parte hamiltoniana (Hermitiana) e : x

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Introdução[editar | editar código-fonte]

História[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de probabilidade com filtração , para algum conjunto de índice (totalmente ordenado) ; e um espaço mensurável . Diz-se que um processo estocástico com valores adaptado à filtração possui a propriedade de Markov se, para cada e para cada com , [16]x

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No caso em que for um conjunto discreto com sigma-álgebra discreta e , isto pode ser reformulado como segue:

Formulações alternativas[editar | editar código-fonte]

Alternativamente, a propriedade de Markov pode ser formulada da seguinte maneira. x

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para todo e sendo limitada e mensurável.[17]

Propriedade forte de Markov[editar | editar código-fonte]

Suponha que seja um processo estocástico em um espaço de probabilidade com filtração natural . Para qualquer , podemos definir o sigma-álgebra germe como a intersecção de todos os para . Então para qualquer tempo de espera em , podemos definir .x

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Evolução transitória[editar | editar código-fonte]

A probabilidade de ir do estado i para o estado j em intervalos de tempo n é e a transição de um único passo é Para uma cadeia de Markov de tempo homogêneo: e As probabilidades de transição de n-etapa satisfazem a equação Chapman-Kolmogorov, que para qualquer k tal que 0 < k < n, x

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onde S é o espaço de estados da cadeia de Markov. A distribuição marginal Pr(Xn = x) é a distribuição mais estados no tempo n. A distribuição inicial é Pr(X0 = x). A evolução do processo através de um passo de tempo é descrita pela x

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Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

Suponha que { fi } é uma coleção indexada de variáveis aleatórias, isto é, um processo estocástico. Seja a função de densidade da probabilidade conjunta dos valores da variável aleatória f1 para fn. Então, a equação de Chapman–Kolmogorov é x

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ou seja, a distribuição marginal sobre a variável de perturbação.[1] (Note que não se assumiu ainda nada sobre o ordenamento temporal ou qualquer outro das variáveis aleatórias — a equação acima aplica-se à distribuição marginal de qualquer uma.)

Aplicação às cadeias de Markov[editar | editar código-fonte]

Quando o processo estocástico que se considera aqui é markoviano (Cadeias de Markov), a equação de Chapman–Kolmogorov é equivalente a uma identidade de densidades de transição. Na configuração de cadeia de Markov, assume-se que i1 < ... < in. Então, por causa da propriedade de Markov, x

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onde a probabilidade condicional é a probabilidade de transição entre os tempos . Assim, a equação de Chapman–Kolmogorov assume a forma x

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História[editar | editar código-fonte]

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onde: é o termo de arraste, que é dado por um vetor. é termo difusivo, que é dado por uma matriz.

Relação com as equações diferenciais estocásticas[editar | editar código-fonte]

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Definição matemática[editar | editar código-fonte]

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Oscilador harmônico monodimensional[editar | editar código-fonte]

Hamiltoniano, energia e autofunções[editar | editar código-fonte]

Aplicação: moléculas diatômicas[editar | editar código-fonte]

Equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

Representação do sistema quântico de dois estados[editar | editar código-fonte]

Referências

$H_{S}$ é uma parte hamiltoniana (Hermitiana) e $L_{D}$ :

$L_{D}(\rho _{S})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{S}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{S}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{S}\right)\right)$
$x$

No caso em que $S$ for um conjunto discreto com sigma-álgebra discreta e $I=\mathbb {N}$ , isto pode ser reformulado como segue:

$\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\dots ,X_{0}=x_{0})=\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})$

Alternativamente, a propriedade de Markov pode ser formulada da seguinte maneira.

$\mathbb {E} [f(X_{t})|{\mathcal {F}}_{s}]=\mathbb {E} [f(X_{t})|\sigma (X_{s})]$
$x$

para todo $t\geq s\geq 0$ e sendo $f:S\rightarrow \mathbb {R}$ limitada e mensurável.^[17]

ou seja, a distribuição marginal sobre a variável de perturbação.^[1]

(Note que não se assumiu ainda nada sobre o ordenamento temporal ou qualquer outro das variáveis aleatórias — a equação acima aplica-se à distribuição marginal de qualquer uma.)

onde:

$D^{1}$ é o termo de arraste, que é dado por um vetor.
$D^{2}$ é termo difusivo, que é dado por uma matriz.